Совершенным называется то, что по достоинствам
и ценности не может быть превзойдено в своей области
Аристотель
Здравствуйте, мои дорогие.
Рада видеть Вас на уроке арифмантики. Тема сегодняшнего урока -
совершенные числа.
- А на той планете есть охотники?
- Нет.
- Как интересно! А куры есть?
- Нет.
- Нет в мире совершенства! - вздыхает Лис.
А. де Сент-Экзюпери, "Маленький принц"
С Лисом можно поспорить, но пифагорейцы, жившие две с половиной тысячи лет тому назад,
тоже считали совершенство редким явлением и обозначали его числами, удовлетворяющими довольно жествому условию.
Возьмем, например, число шесть. Его делителями будут 1, 2, 3 и само число 6. Если
сложить делители, отличные от самого числа, то получим
1 + 2 + 3 = 6
Есть ли еще такие числа? Конечно. Например число 28:
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
Числа, которые равны сумме всех своих делителей (исключая само число), древнегреческие
математики называли совершенными.
Первое, самое меньшее совершенное число - 6. Может быть, именно
поэтому шестое место считалось самым почетным на пирах у древних римлян.
Второе по старшинству совершенное число - 28. В некоторых ученых
обществах и академиях полагалось иметь 28 членов. Почти до наших дней дожила эта традиция, идущая из
далеких эпох. В Риме в 1917 году при выполнении подземных работ обнаружилось помещение одной из
древнейших академий: зал и вокруг него 28 кабинетов - как раз по числу членов академии.
Лев Николаевич Толстой шутливо "хвастался" тем, что дата его рождения (28 августа по
календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л.Н.Толстого (1828) - тоже интересное
число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; а если переставить местами первые две цифры,
то получится 8128 - четвертое совершенное число.
Третье совершенное число - 496.
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
Первые четыре совершенных числа: 6, 28, 496, 8128 - были обнаружены
2000 лет назад.
Пятое совершенное число было найдено лишь 500 лет назад.
Совершенные числа таят в себе множество загадок. Во-первых, все известные совершенные
числа четные, и неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа и возможно ли это.
Во-вторых, хотя найдено уже несколько десятков совершенных чисел, но неизвестно, конечно их
число или бесконечно.
Про четные совершенные числа было известно еще Евклиду. Он доказал, что если при
некотором значении числа р число 2p-1 - простое, то число
2p-1(2p-1) будет совершенным. Леонард Эйлер
доказал, что такой вид имеют все четные совершенные числа.
Поиском простых чисел вида 2p-1 занимался французский
монах Марен Мерсенн. В его честь простые числа Мp=2p-1 стали называть
числами Мерсенна. Он установил, что для простоты Мp, число р должно быть простым.
Обратное утверждение неверно: существуют простые р, для которых M, не
является простым числом. Например, М11=211-1=2047=23·89. Причем,
множитель 23 имеет вид 23=2·11+1, а множитель 89=8·11+1.
Вообще, все простые делители числа Мерсенна Мp=2p-1 имеют вид
k=2rp+1, где r - натуральное число. Это облегчает поиск таких делителей.
Простыми являются числа Мерсенна М2=3 и М7=127.
Им соответствуют совершенные числа 6 и 8128.
Найдено более 40 простых чисел Мерсенна, наибольшее из которых имеет в своей записи более 9 млн. цифр.
Поиск простых чисел Мерсенна, а значит и четных совершенных чисел продолжается. А ведь когда-то Мерсенн
сказал, что не хватит и вечности, чтобы узнать, является ли простым 20-значное число.
Числа Мерсенна долгое время были абсолютно бесполезными, как, впрочем, и совершенные числа.
Но в настоящее время на простых числах Мерсенна основана защита электронной информации, а также они используются в криптографии
и других приложениях математики.
А теперь запишите домашнее задание.
1. Найдите еще примеры того, что совершенные числа очень почитались древними. (2 балла)
2. Посмотрите внимательно на фрагмент картины Рафаэля "Сикстинская Мадонна".
Какое отношение он имеет к совершенным числам. (1 балл)
3. Вычислите числа Мерсенна для первых 15 простых чисел. Какие из них
являются простыми и какие совершенные числа им соответствуют. (3 балла)
4. Используя определение совершенного числа, представьте единицу в виде суммы различных единичных дробей, знаменателями
которых являются все делители данного числа. (2 балла)
5. Расставьте 24 человека в 6 рядов так, чтобы каждый ряд состоял из 5 человек.(1 балл)
6. Пользуясь пятью двойками и арифметическими заклинаниями, запишите число 28. (1 балл)
